Suites définies par une formule explicite - Exemple 1

Pour tout entier naturel  `n` , on considère la suite  `u`  telle que  `u_n=2n` . 
On a alors  `u_\color{red}{0}=2\times\color{red}{0}=0` ,  `u_\color{red}{1}=2\times\color{red}{1}=2` ,  `u_\color{red}{2}=2\times\color{red}{2}=4` , etc.
Et aussi,  `u_\color{red}{51}=2\times\color{red}{51}=102`  ou encore  \(u_\color{red}{10\,000}=2\times\color{red}{10\,000}=20\,000\) . 

Pour tout entier naturel  `n`  non nul, on considère la suite  `v`  telle que  `v_n=1/n` . 
Le premier terme est alors  `v_\color{green}{1}=1/\color{green}{1}=1` ,  `v_\color{green}{2}=1/\color{green}{2}` ,  `v_\color{green}{3}=1/\color{green}{3}`  et, par exemple,  `v_\color{green}{500}=1/\color{green}{500}` . 
Le terme de rang  `n+1`  est :  `v_\color{green}{n+1}=1/\color{green}{n+1}` .

Pour tout entier naturel  `n`  non nul, on considère la suite  `w`  telle que  `w_n=\sqrt(n-1)` . 
Le premier terme est alors  `w_\color{blue}{1}=\sqrt(\color{blue}{1}-1)=\sqrt(0)=0` ,  `w_\color{blue}{2}=\sqrt(\color{blue}{2}-1)=\sqrt(1)=1` ,  `w_\color{blue}{3}=\sqrt(\color{blue}{3}-1)=\sqrt(2)`  et  `w_\color{blue}{122}=\sqrt(\color{blue}{122}-1)=\sqrt(121)=11` . 
Le terme de rang  `n+1`  est :  `w_\color{blue}{n+1}=\sqrt(\color{blue}{n+1}-1)=\sqrt(n)` .

Pour tout entier naturel  `n` , on considère la suite  `s`  telle que  `s_n=n^2+3n-1` . 
On a alors  `s_\color{purple}{0}=\color{purple}{0}^2+3\times\color{purple}{0}-1=-1` ,  `s_\color{purple}{1}=\color{purple}{1}^2+3\times\color{purple}{1}-1=3` , puis, par exemple,  \(s_\color{purple}{49}=\color{purple}{49}^2+3\times\color{purple}{49}-1=2\ 547\) . 
Le terme de rang  `n+1`  est : 

`s_\color{purple}{n+1}=(\color{purple}{n+1})^2+3(\color{purple}{n+1})-1=n^2+2n+1+3n+3-1=n^2+5n+3`  .
Le terme de rang  `n-1`  est : `s_\color{purple}{n-1}=(\color{purple}{n-1})^2+3(\color{purple}{n-1})-1=n^2-2n+1+3n-3-1=n^2+n-3` .